FUNCIONES
La clave para el análisis matemático de una situación geométrica o científica
es por lo general el reconocimiento de las relaciones entre las variables que describe en la situación tal relación puede
ser una formula que exprese a una variable en funcion de otra .
Una función real f definida en un conjunto D de números reales es una regla
que asigna a cada numero x en D exactamente un numero real, denotado con F (x).
Con frecuencia una función queda descrita mediante una formula que especifica
la forma de calcular el numero f(f)en términos del numero x. el símbolo f()se puede considerar como una operación a realizar
siempre que se inserte un numero expresión dentro del paréntesis.
FORMAS IMPLÍCITA, EXPLICITA Y PARAMETRICA
FUNCIONES EXPLICITAS
Una función es explicita cuando en la ecuación que actúa como regla de correspondencia
,se tiene despejada la variable dependiente y términos de la variable independiente x.
La función y=f(x)=3x2 +2x+1 es una función explicita ,dado que la
ecuación ,es la regla de correspondencia ,permite calcular directamente para cualquier valor “x” del dominio,
su imagen correspondiente “y”en el contradominio.
FUNCIONES IMPLÍCITAS
Considérese ahora a f(x,y)como representación de una expresión en x, y;en tal
forma que f(x,y)=0..(1)es una ecuación en x,y no resuelta para y
La ecuación 2x2 –2xy+y2 -1=0..(a)
Es una ecuación del tipof(x,y)=0...(1)
Donde f(x,y)=2x2-2x+y2-1
Se despeja la ecuación en este caso de segundo grado en “y”
Y2-2xy+(2x2-1)=0
Donde
Y=2x±Ö4x2-4(2x2-1) =x±1/2Ö4-4x2
2
las soluciones de dicha ecuación son
y=x±Ö1-x2
dado que hay dos valores de “y” para cada valor de “x”
en el intervalo abierto(-1,1),
la ecuación (a) especifica una relación multiforme ,pero no una función.
Una función implícita se caracteriza porque en la ecuación que actúa como regla
de correspondencia ,la variable dependiente y no se encuentra despejada .
FUNCIONES EXPRESADAS EN FORMA PARAMETRICA
Una representación parametrica frecuentemente puede constituir la regla de correspondencia de una función .
Las ecuaciones x= cosq;y =2 senq,en las que q es el parámetro, corresponden
a la elipse de la ecuación cartesiana.
x2/9 + y2/4 =1
desde luego en estas ecuaciones ecuaciones definen multiforme en el intervalo
abierto –3< x <3,que puede descomponerse en las dos siguientes funciones:
f1=í(x,y)ï x= 3 cos q, y= 2sen
q,
-3< x < 3, y>0ý
f2=í(x,y) ê x= 3 cos q ,y= 2 senq ,-3 < x <3, y <0ý
Una aplicación útil de las representaciones parametricas se presenta en problemas
de movimiento curvilíneo donde comúnmente se considera que (x,y)son las coordenadas cartesianas del punto “x”.
CLASIFICACION
FUNCIONES ALGEBRAICAS
Las funciones algebraicas son aquellas que se obtienen alrealizar un numero
finito de adiciones,sustracciones ,multiplicaciones divisiones y rdiaciones con las funciones constante e identidad.
Algunas funciones algebraicas
pueden ser ;
a) f(x)
=+ Ö x-1
b) f(x)
= x-2
4+x
CONTINUIDAD
Una función continua es aquella
cuyas salidas varian continuamente con respecto de las entradas y que no saltan de un valor a otro sin asumir entradas todos
los valores intermediarios.
Cualquier función y=f(x) cuya grafica se puede trazar ,el lapiz es un ejemplo
de continuidad.
APLICACIONES
El estudio de un problema de aplicación se basa con frecuencia en la definición
de una función que capture la esencia de una situación geométrica o física.
Una caja rectangular con una base cuadrada tiene un volumen 125.exprese el
área total de su superficie A como una función de la longitud de una arista de su base.
v El primer
paso es hacer un dibujó y etiquetar las dimensiones adecuadas la figura muestra una caja rectangular con base cuadrada con
longitud de arista “x”en la base y altura”y”.tenemos que el volumen de la caja es
V =X2Y=125
v Tanto la tapa como el fondo de la caja tiene área x2
y cada uno de sus cuatro lados verticales tienen área xy, por lo que el área total de su superficie es
A =2x2+4xy
v Pero esta
es una formula para A en términos de las dos variables x y y ,antes que la función
de una sola variable x .para eliminar y obtener entonces A solamente en términos de x despejamos y en la ecuación (9)para
obtener y=125/x2 y después sustituir este resultado en la ecuación (10),obteniendo
A = 2x2+4x*125/x2+500/x
v Así el área
de la superficie ,dada como una función de la longitud x de una arista es
A(x)= 2x2+500/x , 0<x<infinito
v Es necesario
especificar el dominio ,pues los valores negativos de x tienen sentido en la formula de la ecuación (11) pero no pertenecen
al dominio de la función A
v Esto debe
a que todo x>0 determina una de estas cajas ,el dominio si contiene a todos los números positivos.
